Outro Blog de Matemática: 2007

Para indicar que um número está elevado à uma potencia qualquer, colocamos esta potência como expoente. Veja o exemplo.

5 elevado à potência 4
5⁴

Quando dizemos que um número qualquer está "elevado à potencia 4", por exemplo, estamos dizendo que este número será multiplicado por ele mesmo 4 vezes. Vamos desenvolver o exemplo acima:

5⁴= 5 · 5 · 5 · 5 = 625

Veja mais exemplos:

2⁹ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 512

3³ = 3 · 3 · 3 = 27

8²= 8 · 8 = 64

Genericamente podemos representar uma potência:

Onde chamamos "X" de base e "n" de "expoente" ou "potência".

Quando estivermos operando uma equação, diversas vezes encontraremos potências envolvidas no meio do cálculo.

Existem algumas regras que nos ajudam a mexer com estas potências.

MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE

Esta é a primeira propriedade pois é a mais utilizada de todas.

Por exemplo, se aparecer o número 5⁴ multiplicado por 5³,

Esta é a operação que queremos efetuar. Vamos abrir a potência

$formdata=(5\,\cdot\,5\,\cdot\,5\,\cdot\,5)\,\cdot\,(5\,\cdot\,5\,\cdot\,5)$

Agora veja que esta multiplicação é igual à 5 elevado à potência sete. Este 7 veio da soma dos 4 fatores de 5⁴ com os 3 fatores de 5³

Daqui nós tiramos a regra para qualquer multiplicação de potências com mesma base.
Conserva-se a base e soma-se o expoente. Genericamente temos:

Esta é a regra. "X" pode ser qualquer número (real, imaginário...), que a regra continuará valendo.

Conserva-se a base e soma-se os expoentes.

É muito importante entendê-la, pois é muito utilizada.

Note que a base deve ser a mesma nos fatores, e ela que aparecerá no produto.

DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE

O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.

O exemplo será 12⁶ divididos por 12²:

$formdata=\Large\frac{12^6}{12^2}$

Esta é a divisão que queremos efetuar. Vamos novamente abrir a potência.

$formdata=\Large\frac{12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12}{12\,\cdot\,12}$

Agora podemos cortar os termos semelhantes que estão acima e abaixo da fração.

Portanto podemos cortar dois fatores 12 de cima com dois fatores 12 de baixo.

Ao cortar, estaremos retirando 2 unidades da potência de cima. Estas duas unidades são referentes ao expoente 2 da potência de baixo.

$formdata=12\,\cdot\,12\,\cdot\,12\,\cdot\,12=12^4$

$formdata=\fra{12^6}{12^2}=12^{6-2}=12^4$

Veja que esta multiplicação é igual à 12⁴ , isto nos dá a regra para qualquer divisão de potências com mesma base.

Conserva-se a base e subtrai-se os expoentes.

Genericamente, temos:

Novamente, "X" pode ser qualquer número (real, imaginário...) que a regra ainda vale. Estas são as duas regras mais utilizadas.

MULTIPLICAÇÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE

Até agora vimos multiplicação e divisão com termos de mesma base. E quando não tiver mesma base??? O que podemos fazer?

Só podemos efetuar uma operação quando tivermos mesma base ou mesmo expoente. O que vamos ver agora é justamente o segundo caso: expoentes iguais.

O exemplo será 6⁵multiplicados por 9⁵:

$formdata=6^5\cdot+9^5$

Este é o exemplo. Agora vamos abrir as potências.

$formdata=6\cdot+6\cdot+6\cdot+6\cdot+6\cdot+9\cdot+9\cdot+9\cdot+9\cdot+9$

Qualquer multiplicação tem a propriedade de comutatividade, ou seja, se invertermos a ordem de multiplicação o valor não se altera. Então vamos colocar esta multiplicação em outra ordem.

$formdata=6\cdot+9\cdot+6\cdot+9\cdot+6\cdot+9\cdot+6\cdot+9\cdot+6\cdot+9$

$formdata=(6\cdot+9)\cdot(6\cdot+9)\cdot(6\cdot+9)\cdot(6\cdot+9)\cdot(6\cdot+9)$

Agora temos a multiplicação 6 · 9 aparecendo 5 vezes. Então

$formdata=6^5\cdot+9^5=(6\cdot+9)^5$

E esta propriedade podemos aplicar para qualquer número.

Conserva-se o expoente e multiplica-se a base.

Generalizando:

Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos.

DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMO EXPOENTE

O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão.

O exemplo será 8⁴ divididos por 5⁴:

$formdata=\frac{8^4}{5^4}$

Este é o exemplo que iremos usar. Vamos abrir as potências.

$formdata=\frac{8\,\cdot\,8\,\cdot\,8\,\cdot\,8}{5\,\cdot\,5\,\cdot\,5\,\cdot\,5}$

Como temos multiplicação em cima e em baixo da fração, podemos separar em 4 frações multiplicadas uma pela outra.

$formdata=\frac+85\,\cdot\,\frac+85\,\cdot\,\frac+85\,\cdot\,\frac+85$

E isto é a fração $formdata=\frac+85$ elevado na potência 4.

$formdata=\frac{8^4}{5^4}=\left(\frac+85\right)^4$

E esta propriedade pode se aplicar para quaisquer números do conjunto dos complexos. Generalizando,

Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos números complexos.

Conserva-se o expoente e divide-se as bases.

POTÊNCIA DE POTÊNCIA

Já vimos as principais propriedades de operações.
Agora vamos ver quando tivermos uma potência de um número que já tem uma potência. Veja o exemplo:

(4²)³

O que devemos fazer?
Vamos desenvolver este exemplo:

$formdata=(4^2)^3$

Vamos abrir a potência de dentro do parênteses

$formdata=(4\cdot+4)^3$

Agora a potência fora do parênteses diz que devemos multiplicar o que tem dentro do parênteses três vezes,

$formdata=(4\cdot+4)\cdot+(4\cdot+4)\cdot+(4\cdot+4)$

$formdata=4\cdot+4\cdot+4\cdot+4\cdot+4\cdot+4$

E isso nos dá a potência 4⁶. E agora tiramos outra regra para potências.

Generalizando, ficamos com:

Onde "a" e "b" podem ser quaisquer números do conjunto dos complexos.

Potência de potência, multiplica-se os expoentes.

ATENÇÃO

Quando tivermos um número negativo elevado numa potência, devemos tomar a seguinte precaução, veja os exemplo:

(-5)² = (-5) · (-5) = +25

(-2)⁴= (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16

Note, então, que quando temos um número negativo elevado em qualquer expoente PAR este se comporta como se fosse positivo, pois na multiplicação "menos com menos dá mais":

(-5)²=5²=25

(-2)⁴=2⁴=16

Se "k" for PAR (-X)^k=X^k

E se tivermos um expoente ímpar?

(-5)³=(-5)·(-5)·(-5)	Se pegarmos os dois primeiro números multiplicados, temos (-5)²=+25, substituindo ao lado:
(-5)³=25·(-5)=-125	Sempre que tivermos um número negativo elevado em qualquer expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na resposta

PEGA-RATÃO

(-5)² é totalmente diferente de -5² . No primeiro caso o sinal de menos também está elevado ao quadrado, então a resposta é +25. Já no segundo caso, o menos não está elevado ao quadrado, somente o 5, portanto a resposta é -25.

Para representar números muito grandes ou até mesmo efetuar cálculos com eles, é utilizado potências com algumas bases fixas. Uma das bases mais utilizadas é a base DEZ. No tópico após "Radiciação" iremos estudar esta base.

Agora iremos ver propriedades semelhante a esta, mas para radiciação. Clique na seta "avançar" abaixo e continue estudando.

Todas estas fórmulas você encontra, para referência rápida, no item resumo do menu lá em cima da página.

Com base nas operações com potências, existem algumas propriedades interessantes de serem vistas.

$formdata=\Large{a^0}=1$

Qualquer número elevado à potência ZERO resulta 1.

Só não pode ser 0⁰, pois este não existe!

Ex.:	$formdata=2^0=1$	$formdata=(-2,3)^0=1$
	$formdata=\left(\frac{27}{32}\right)^0=1$	$formdata=\left(\sqrt[4]{37}\right)^0=1$

$formdata=\Large{a^1}=a$

A potência 1 indica que devemos multiplicar "a" por ele mesmo 1 única vez. Portanto, é o próprio "a".

Ex.:	$formdata=23^1=23$	$formdata=(-234)^1=-234$
	$formdata=(\sqrt{34})^1=\sqrt{34}$	$formdata=\left(-\frac{2}{37}\right)^1=-\frac{2}{37}$

$formdata=\Large{1^n}=1$

A potência "n" indica quantas vezes o número 1 será multiplicado por ele mesmo, e não interessa quantas vezes seja, sempre será 1.

Ex.:	$formdata=1^4=1$	$formdata=1^{\frac{2}{3}}=1$
	$formdata=1^{(-47)}=1$	$formdata=1^{\sqrt+5}=1$

$formdata=\Large{0^n}=0$

Idem ao de cima. Não interessa quantas vezes o zero seja multiplicado por ele mesmo, sempre será zero.

Lembre-se que não pode ser 0⁰, pois não existe!

Ex.:	$formdata=0^2=0$	$formdata=0^{-21}=0$
	$formdata=0^{(2.3)}=0$	$formdata=0^{\frac{5}{6}}=0$

$formdata=\Large+a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

Sempre que tivermos um expoente negativo, este troca de numerador para denominador, ou seja, vai de cima da fração para de baixo da fração.

Ex.:	$formdata=3^{-2}=\frac{1}{3^2}$	$formdata=7^{-\frac{5}{3}}=\frac{1}{7^{\frac{5}{3}}}$
	$formdata=\left(\frac{2}{9}\right)^{-4}=\left(\frac{9}{2}\right)^{4}=$	$formdata=(\sqrt+7)^{-2}=\frac{1}{(sqrt+7)^2}$

$formdata=\Large\frac{1}{a^{-n}}=a^n$

A regra acima também vale ao contrário. Se tivermos uma potência negativa no denominador, este se transforma em numerador ao trocar o sinal da potência.

Ex.:	$formdata=\frac{1}{7^{-1}}=7$	$formdata=\frac{5}{3^{-\frac{3}{2}}}=5\cdot+3^{\frac{3}{2}}$
	$formdata=\frac{2}{9^{-4}}=2\cdot+9^4$

Fonte: http://www.tutorbrasil.com.br/estudo_matematica_online/algebra_basica/algebra_basica_01_2_potenciacao_consequencias_das_operacoes.php

Vamos exercitar com um problema:

Numa estrada, encontrei sete mulheres. Cada mulher tinha sete sacos, cada saco tinha sete gatos, cada gato tinha sete gatinhos. Quantos gatinhos encontrei na estrada?

Deixe sua resposta nos comentários. Não vale copiar, hein?!

Bom aprendizado a todos.

Outro Blog de Matemática

domingo, 2 de dezembro de 2007

Então é Natal...

Obrigado!

terça-feira, 13 de novembro de 2007

Para rir...

Resposta

segunda-feira, 22 de outubro de 2007

Potenciação

Arquivo do blog

Quem sou eu